Le produit scalaire. Playlist complète: https://bit.ly/3dt1TQW

Chapitre 1: 00:00 Rappel sur les vecteurs. Somme, différence de vecteurs et produit d’un vecteur par un nombre réel.

➡Qu’est ce qu’un vecteur?
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par sa direction, son sens et sa norme.

➡Comment sommer deux vecteurs?
Nous avons appris à additionner deux vecteurs. La somme de deux vecteurs est un vecteur. Il suffit de les mettre à la “la queue lele”, c’est à dire que l’extrémité du premier vecteur correspond à l’origine du 2ème vecteur.

➡Comment soustraire deux vecteurs?
L’opposé d’un vecteur u (avec flèche) est un vecteur noté u (avec flèche) de même direction, de sens opposé et de même norme. Donc pour soustraire deux vecteurs, il suffit d’ajouter au premier vecteur l'opposé du 2ème vecteur.

➡Comment multiplier un vecteur un par un nombre réel k?
Nous avons aussi vu que multiplier un vecteur u (avec flèche) par un nombre réel k, on dit aussi par un scalaire k, nous donne un vecteur ku(avec flèche) de même direction, de même sens si le réel k est strictement positif, et de sens contraire si le réel k est strictement négatif et de norme égale à la norme du vecteur u multiplié par la valeur absolue du réel k.

Chapitre 2: 08:40 Qu’est ce que le produit scalaire?
Le produit scalaire entre deux vecteurs u (avec flèche) et v (avec flèche) est un nombre réel noté u(avec flèche).v(avec flèche)
Attention: la multiplication entre deux vecteurs n'existe pas.

Chapitre 3: 11:21 Comment calculer ce nombre réel appelé produit scalaire entre deux vecteurs? La méthode avec les normes et l’angle. Définition du produit scalaire.
Le produit scalaire entre deux vecteurs est un nombre réel égal au produit des normes des deux vecteurs que multiplie le cosinus de l’angle orienté entre ces deux vecteurs. Nous traitons ensemble dans cette vidéo deux exercices d’application pour bien comprendre cette première méthode de calcul du produit scalaire.

Chapitre 4: 17:01 Conséquences de cette première formule. Les cas particuliers.
Cas particulier 1: Si les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens, alors le produit scalaire des deux vecteurs est égal au produit des normes de ces deux vecteurs.
Cas particulier 2: Si les deux vecteurs sont colinéaires et sens opposés, alors le produit scalaire des deux vecteurs est égal à l’opposé du produit des normes de ces deux vecteurs.
Cas particulier 3: Si les deux vecteurs sont orthogonaux, alors le produit scalaire des deux vecteurs est nul et réciproquement.

Chapitre 5: 29:43 Comment calculer le produit scalaire entre deux vecteurs avec la méthode des projetés orthogonaux?

Calculer le produit scalaire entre deux vecteurs AB(flèche) et CD(flèche) revient à calculer le produit scalaire entre les vecteurs AB(flèche) et C’D’(flèche), C’D’(flèche) étant le vecteur projeté orthogonal de CD(flèche) sur la droite (AB).
On traite dans cette vidéo un exercice d’application.
Démonstration de cette formule:    • Produit scalaire projeté orthogonal.  

Chapitre 6: 51:56 Comment calculer le produit scalaire entre deux vecteurs? La méthode analytique dans un repère orthonormé.
Si u(avec flèche) a pour coordonnées dans un repère orthonormé (x;y) et que le le vecteur v(avec flèche) a pour coordonnées dans un repère orthonormé (x’;y’), alors le produit scalaire est calculé par x*x’+y*y’.

Chapitre 7: 01:01:17 Les propriétés algébriques du produit scalaire Symétrie et bilinéarité du produit scalaire.
Le produit scalaire est commutatif c’est à dire que u(avec flèche) scalaire v(avec flèche) est égal à v(avec flèche) scalaire u(avec flèche).
Le produit scalaire est distributif par rapport à la somme vectorielle. Ça marche comme pour la multiplication par rapport à l’addition dans un développement d’expression.
Enfin, k*u(avec flèche).v(avec flèche) est égal à (k*u(avec flèche)).v(avec flèche) est aussi égal à k*(u(avec flèche).v(avec flèche)) et aussi égal à u(avec flèche).(k*v(avec flèche)). Bref rien de bien compliqué! Ce sont des choses avec lesquelles nous avons déjà l’habitude dans l’ensemble des réel muni de la multiplication et de l’addition.
On va aussi voir les identités remarquables du produit scalaire. Notion très importante.

Chapitre 8: 01:11:05 Méthode 4 pour calculer le produit scalaire avec les normes.
Cette méthode est utilisée quand on peut réduire par la relation de Chasles une somme ou une différence vectorielle dont on connaît la norme.

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